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» Soit kle nombre des points apparents; si, outre les K points singuliers, 
les À points apparents sont donnés, il restera, dans 6, des paramètres arbi- 
traires au nombre de K — 2. Il résulte de là que si À = K (mod 2), il y aura, 
dans chaque famille, une équation canonique qui n'aura que K — 2 points 
apparents, et si h = K +1 (mod 2), il y en aura une infinité qui auront K—r 
points apparents. 
» Soit, par exemple, K = 3, À==1(mod 2); voyons comment on pourra 
passer de l'équation (1) à une équation de même famille n'ayant qu'un 
point apparent. Soient a,, @2, ..., 4, les points singuliers, b,, ba, ..., by les 
points apparents. Posons 
ale — b,)(x—6,)...(z — dy)(x — d) 
LE (x — a) (z — a) (x — az) (x — cei) (£ — ca)... (£ — em)’ 
Je suppose 2m = h — 3. On voit que Ÿ contient m + 2 paramètres arbi- 
traires, c’est-à-dire œ, d, c,, Cz, -..s Cm, Considérons la fonction rationnelle 
— 0 + 4. Elle sera de degré — 2, et elle aura 3 + m + h infinis doubles. 
Combien faut-il de conditions pour qu’une fonction R de degré — 2 et 
: : : d , 
ayant z infinis doubles puisse se mettre sous la forme ọ? — <}; + étant ra- 
dx 
tionnel? Il en faut n — 1, et ces conditions, ainsi que les coefficients de y, 
s'expriment très simplement en fonctions des coefficients de R. Ici nous 
aurons donc 2 + À + m conditions, et, comme # d’entre elles sont satisfaites 
d’elles-mêmes, nous satisferons aux autres à l’aide des m + 2 paramètres 
arbitraires qui restent dans 4. On résoudra donc l'équation i 
de 
2 ? 
O 
: dx 
— 0 + +, 
ce qui se ramène à un problème purement algébrique. Puis on formera 
l'équation dont l'intégrale générale s'écrit 
I - dy 
3 pe de} 
: y , + , à A e 
y étant l'intégrale générale de (1). Cette équation sera de même forme qu 
(1), elle sera de même famille que (1), et elle n’admettra qu'un point "e 
z . z P . ° e 
rent qui sera d. Les coefficients de cette équation seront Jes invariants 
famille cherchés. 
» La question peut se traiter par la même analyse dan 
général. Un problème se présente maintenant : je suppose que les KP 
singuliers de (1) soient donnés; peut-on disposer des 2K — 4 myar 
s le cas le plus 
oints 
ants, 
