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de telle façon que le groupe de l'équation (1) soit quelconque? Cela n’est 
pas évident a priori, mais la considération des fonctions zétafuchsiennes 
permet de le démontrer. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions uniformes affectées de coupures. 
Note de M. E. Picaro, présentée par M. Hermite. 
« On sait que M. Weierstrass, dans son Mémoire célebre sur les fonc- 
tions uniformes, a donné la forme analytique de toute fonction ayant un 
nombre fini de points singuliers essentiels et des pôles en nombre quel- 
conque. Je me propose de montrer que toute cette théorie peut, avec des 
modifications bien simples, être étendue aux fonctions uniformes possé- 
dant un nombre fini de coupures que je supposerai rectilignes. Soit donc 
f(z) une fonction restant uniforme, quand on ne traverse pas certains 
segments de droite P,Q,, P,Q,..., P,Q, (nous nous bornons au cas où 
ces segments n’ont aucun point commun); tout point du plan en dehors de 
ces segments sera pour la fonction un point ordinaire ou un pôle, et on ne 
fait aucune hypothèse sur la nature des points de chacun des segments, qui 
peuvent même être des lignes de points singuliers essentiels. 
» Plaçons-nous d’abord dans le cas où f(z) est continue pour tous les 
points du plan en dehors des coupures; nous allons voir que f (z) est alors 
la somme de z fonctions ayant chacune dans tout le plan une seule cou- 
pure, ce qui correspond à ce théorème de M. Weierstrass d’après lequel 
une fonction ayant 7 points singuliers est la somme de n fonctions ayant 
chacune un seul point de cette nature. Étudions dans ce but la forme 
de f(z) dans le voisinage de la coupure P,Q,, et supposons, pour simpli- 
fier, que l’origine soit le milieu de ce segment de longueur 2c et que KO; 
soit laxe des quantités réelles. On démontrera de suite, en faisant usage 
de la transformation 
amiee a 
que la fonction, dans le voisinage de la coupure, peut se mettre sous la 
forme 
n = 
Has à sheet ES peer 
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qui revient simplement au développement de Laurent; les A et les B sont des 
