( 1459 ) 
Appliquant la même methode à cette équation, en prenant maintenant 
ÿ = x’, on aura 
v 2.3 
2. | ET m| Y, 
et ainsi de suite. 
» Les raisonnements précédents reposent sur ce fait que le coefficient de 
u dans l’équation (6) se compose de deux parties, l’une du degré zéro, l’autre 
du second degré par rapport à H. On peut utiliser autrement cette propriété 
de l'équation (6), et obtenir plusieurs théorèmes analogues au précédent. 
Par exemple, on peut ramener l’équation 
J'=mf(e)y 
à une autre qui sera de la forme 
J"= [mo(x)+ 4(+)lr, 
et cela de plusieurs manières différentes. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Démonstration d’un théorème relatif à la fonction 
E(x). Note de M. V. Bouxrakowski, présentée par M. Hermite. 
« En désignant, suivant l’usage, par E(x) le plus grand entier contenu 
dans x, je me propose d'établir la proposition suivante, dont j'ai donné 
l'énoncé dans le Bulletin de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg. 
Soit p un nombre premier quelconque de la forme 4n + 1, je dis qu'on 
aura 
Re —1)(p —5 
5 E(Vpp) = EN. 
Pour cela, j'envisage les diverses relations 
up — u—r—=0, 
que l’on obtient ainsi que je vais l'expliquer. Supposant, en premier lieu, 
B=1, je fais u = 1, 2,3, sir E(Vp), ce qui donne, pour les quantités r, 
un premier groupe de résidus quadratiques de p. Je fais ensuite p = 2 avec 
u = E(ÿp) +1, EWP) + 2,..., E(V2p}, et j'en conclus un second groupe 
de résidus quadratiques. En continuant de la même manière jusqu’à 
=Z, on voit que, à la série des valeurs, p = 1, 2,..., m on fait 
= 
