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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur un potentiel à quaire variables, qui rend 
presque intuitives l'intégration de l'équation du son et la démonstration de la 
formule de Poisson concernant le potentiel inverse à trois variables. Note 
de M. J. Boussixeso, présentée par M. de Saint-Venant. 
« Soient : m une masse quelconque fixe, dans un espace rapporté à trois 
axes de coordonnées rectangles x, y, Z, et p, ou p(x;, Yı, Z, ), la densité 
de la partie dm = pdw de cette masse qui remplit l'élément de volume dz 
occupant la situation (æ,, ÿ,, z,). Imaginons qu’on décrive, d’un point 
donné (x, y, z) comme centre et avec un rayon donné r, une sphère 
dont g = 4n r? désignera la surface; puis qu’on évalue, pour chacun des 
éléments do de cette surface, ayant les coordonnées x,, Yı, z,, l'expres- 
de pd , 
sion < » et qu'on fasse la somme des valeurs qu’elle prend sur tous les 
à . . . . z 9 lc . 
éléments de c. On obtiendra ainsi l'intégrale double ọ = f <, fonction 
des quatre paramètres æ, y, z, r définissant la sphère : c’est cette fonction 
que j'appellerai le potentiel à quatre variables, ou le potentiel sphérique. On 
peut encore, en désignant par p, la densité moyenne de la masse en tous 
les points de la surface de la sphère, poser 9 = 4rrp,. 
» Évaluons le paramètre différentiel du second ordre A,9. On l'ob- 
tiendra sans faire varier ni r, ni la grandeur d’aucun des éléments do, 
mais en déplaçant leurs situations (æ,, Yı» 3,4) comme le centre même 
(£, y, z), le long de parallèles aux x, aux y, aux z; de sorte que chaque 
élément de o, correspondant à un même do, aura pour son A, l’expres- 
sion (A,p) S et qu’il viendra, par suite, 4,9 = = (A6) de. Or, si nous 
considérons l'intégrale f(A,c)d#, pour l'espace œ compris entre les deux 
sphères c, o’ décrites, autour de (æ, y, z) comme centre, avec deux rayons 
infiniment peu différents ret r'= r+ £, nous aurons, en prenant da = edc, 
J@p)ds = e f(Aap)do; et il suffira d'évaluer f(A:p)d#, puis de diviser 
Par £, pour obtenir f(A,p)ds. Mais, d'autre part, chacun des trois termes 
composant (A,p) ds s'intègre une fois quand on y pose da = dx, dy,dz,, 
et donne, comme on sait, une intégrale relative à la surface limite de 5, 
£ d d 
c'est-à-dire aux deux sphères c et g’. Représentons par z; et par z7 des 
dérivées prises, à partir de chacun de leurs éléments ds ou ds’, le long des 
