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» Supposons qu’une droite D soit transformée par rapport aux direc- 
trices M, P en une courbe gauche A d'ordre 4mp. Cette courbe coupe la 
surface proposée L en 4lmp points. A chaque tel point d’intersection cor- 
respond sur la droite D un seul point, qui appartient aussi à la surface R 
inverse de la surface L. La surface R est par conséquent d’ordre 4 lmp. 
» De là résultent ces deux théorèmes : 
» Quand un tétraèdre polaire par rapport à une surface du second ordre se 
meut de telle manière que ses trois sommets l, m, p. parcourent respectivement 
une surface L d’ordre l, une courbe M d'ordre m el une surface P d'ordre p, son 
quatrième sommet r engendre une surface R qui est d'ordre 4lmp. 
» Réciproquement : 
» Quand un tétraèdre polaire par rapport à une surface de la deuxième 
classe se meut de telle manière que ses trois faces X, p., n touchent respectivement 
une surface L de la classe l, une surface développable M de la classe m et une 
surface P de la classe p, sa quatrième face ẹ enveloppe une surface R de la classe 
4lmp. 
2. Dans le § 2 de la Note précédente nous avons trouvé que chaque 
point ¿de la courbe d'intersection L de la surface proposée L avec la sur- 
face fondamentale F se transforme en un point multiple d'ordre mp. La 
courbe L étant déjà d'ordre 24, elle est donc d'ordre 2/mp sur la surface 
inverse R. La courbe P d'intersection de la surface P avec la surface fon- 
damentale est aussi de l’ordre 2/mp. 
» Examinons le caractère des points d’intersection m de la courbe direc- 
trice M avec la surface fondamentale, sur la surface inverse R. Prenons sur 
la courbe M un point infiniment voisin d’un point m. Son plan polaire p 
coupe les trois surfaces F, L, P respectivement en une conique F', puis en 
une courbe L’ du Zi“ et en une courbe P’ du p“"*° ordre. La courbe in- 
verse L, de la courbe L' par rapport à la conique F’, comme courbe fonda- 
mentale, et à la courbe directrice P’ est de l’ordre 2 /p. 
» D’après cela le point m est un point multiple d'ordre 24p de la sur- 
face R. Le nombre de tels points sur la surface fondamentale est 2 m. Nous 
voyons donc que ces points m font une partie de la courbe d’intersection 
de la surface fondamentale avec la surface R; cette partie est de l’ordre 
4lmp. Les courbes L, P étant chacune d'ordre 2/mp sont la deuxième paT- 
tie de la courbe d'’intersection complète. La courbe d’intersection COM- 
plète des deux surfaces F, R est par conséquent d'ordre 8/mp, ce qui doit 
être, puisque la surface R est d’ordre 4lmp et la surface fondamentale est 
du second ordre. 
