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» Il est aisé de vérifier que l'on a 
M plu+1) t ! dn?x 
H sn teet 
cni 
nA pe" ("+ 1) Ja T 0(9 Spe 1)4° sn? x _—— (p +- p) — k? (u + P 
4 désignant la somme p + u' + p”, et de former l'équation à laquelle satis- 
fait z. Cette équation est la suivante, 
(a) += 5 [(n — 0 +1)(n + 0)sn°x + A], 
h, désignant une constante différente de %. La nouvelle fonction z n'aura 
plus qu'un seul pôle x = iK’, et, par conséquent, si l’on forme l'équa- 
tion aux produits de deux intégrales, cette équation de troisième ordre 
devra admettre comme solution particulière une fonction rationnelle et 
entière de sn? æ. 
» Posons 
SH EEE, 
R 128 1—2p 1—2p" 
Mt? (1 — t) 3 (1— #4) ? aB=(n—0+1)(n+6)t+h,, 
l'équation aux produits sera 
! r , 
(5) "+ ur (+ a LE: (= — w jë ait: 
» Mais si l’on chasse les dénominateurs, on n’obtient plus cette forme 
régulière qui se présentait dans le cas de l'équation de Lamé. Le coeffi- 
cient de chaque dérivée n’est plus un polynôme d'un degré égal à l’ordre 
de cette dérivée. Si l’on cherche à satisfaire à cette équation en prenant un 
polynôme d'ordre n + 6, on obtient donc pas n +0 équations seulement, 
Comme cela aurait lieu dans le cas de l'équation de Lamé; mais on doit 
satisfaire à 9 + » + 3 conditions, en disposant seulement des 9 + n coeffi- 
cients du polynôme. Il est évident, a priori, et il est possible de démontrer 
directement que trois de ces conditions sont la conséquence des autres. Il 
suffit, pour cela, de s'appuyer sur les propriétés des points singuliers de la 
nouvelle équation en w, propriétés qui sont des conséquences de celles qui 
Ont été démontrées relativement à l'équation (1). 
x Une fois le polynôme u déterminé, l'intégration s'achève, comme on 
Sat, sans aucune difficulté. 
» On peut encore intégrer l'équation (1) en laissant arbitraire la con- 
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C. R., 1882, 1 Semestre. (T. XCIV, N°25.) 
