( 1699 ) 
(voir le travail de M. Bourguet sur le Développement en séries des intégrales 
eulériennes) le coefficient de x” dans le développement en série de Q(x), 
suivant les puissances entières et positives de x sous forme d’une intégrale 
définie; mais la complication de cette intégrale définie fait désirer la con- 
naissance d’un autre développement plus simple. Je suis parvenu, dans le 
cas où la variable x est réelle, à l'expression suivante : 
(1) eQ(x) = - 
2 re 
1(1—x) 
2(2—x) 
42 ; 
Gi 3(3—x) 
X — 
8—x—. 
La méthode que j'ai suivie laisse entièrement douteuse la légitimité de ce 
développement quand x est imaginaire. Elle repose sur le théorème (') 
suivant, dont la démonstration est aisée, et qui peut être utilisé dans d’autres 
n= o n=% 
circonstances. Soient U (<) <> u,x", V(x) = v,x" deux séries procé- 
n=0 n=0 
dant suivant les puissances entières et positives de la variable réelle x, et 
dans lesquelles les coefficients tn, Yn sont, au moins à partir d’un certain 
rang, tous positifs; je suppose que le rapport x ait, pour » infini, la li- 
mite |; si, a étant un nombre positif, les deux séries sont convergentes sous 
les conditions o < æ < a et si, lorsque æ tend vers a par des valeurs in- 
férieures à a, les sommes U et V des deux séries augmentent indéfiniment, 
le rapport ` tendra vers la limite à lorsque x tendra vers a par des valeurs 
plus petites que a. 
»' Ceci posé, la définition de la fonction Q(x) donne immédiatement 
, dx 
Q(p) af T) 
x (1 — z) He 
T 
ee Re mes ER P = 
se unay, uee 0) 
Ji == 
les deux quantités 
1 7 
) p+l el- ž 
sont évidemment, pour æ compris entre zéro et 1, développables en séries 
de 
a 
FEN: Appell a signalé un cas particulier de ce théorème (Comptes rendus, t. LXXXVII, 
1878; p. 689). 
