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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abéliennes. Note de M. APPELL, 
présentée par M. Bouquet. 
« M. Liouville a démontré le théorème suivant sur les fonctions double- 
ment périodiques : 
» Si lon considère les zéros et les infinis d’une fonction méromorphe dou- 
blement périodique, qui sont situés dans un méme parallélogramme élémentaire, 
la somme des zéros ne diffère de celle des infinis que par des multiples des pé- 
riodes. (Voir Théorie des fonctions elliptiques, par MM. Briot et Bouquet, 
2° édition, p. 242.) Comme ce théorème se rattache au théorème d’Abel, 
on est conduit à penser que l’on pourra déduire du théorème d’Abel une 
proposition sur les fonctions abéliennes, analogue à celle de M. Liouville 
sur les fonctions doublement périodiques. 
» Soient, en adoptant les notations de M. Briot (Théorie des fonctions 
abéliennes, p. 90), F(x, y) = o une équation algébrique de degré m en y et 
k=p 
(1) U (Liy Vr) = l; (ii; a orp) 
k 
I 
les équations différentielles abéliennes correspondantes, où l’on suppose, 
pour simplifier, que toutes les intégrales u®(æx;, y4) ont la même limite 
inférieure (æ,, Jo). Considérons, en particulier, les p fonctions abéliennes 
Li, + Lo +...+ Zp = felii; Uag ve. Up) = s13 
(2) Lı Xa H Xi Ly H... + DL, fie Uag 9 Up) = S25 
UE i SS Pe, és c 
A aa a S A a aa Se a € + à à 0 pe à à + aA à + + 
Li Los. Kp At; Hi eey lp) =i 
» Si Pon donne à s,, S3, ..., Sp des valeurs numériques quelconques, 
ces équations (2), dans lesquelles on. considère comme inconnues we 
Us. Up, donneront, pour ces inconnues, une infinité de systèmes de va- 
leurs; imaginons ces systèmes partagés en groupes de telle façon que pi 
systèmes de valeurs (u, , u,, ..., t, ) et (U",, U, .…., i) se trouvent dans des 
groupes différents ou dans le même groupe, suivant que les différences 
p: n r n 
# LA 
forment ou non un système de périodes (‘). Alors : 
