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» 1° Le nombre des systèmes appartenant à un méme groupe est m? quels 
que soient $,, Sa, +. Sp3 
» 2° Les m?” systèmes de valeurs formant un méme groupe se partagent de 
plusieurs façons en mP-' sous-groupes formés chacun de m systèmes, tels que, si 
lon désigne par 
bise Mi: a 4 
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dE AE» : DE : rtg 
u? uka, UT? 
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les m systèmes de l’un de ces sous-groupes, on ait les relations 
U+ U; + t; +... UEC (iZ1,2,..,p), 
dans lesquelles les C; sont des constantes indépendantes des valeurs attribuées à 
Si, So) t.s., Sn 
» Voici la démonstration de ces théorèmes. 
» Lorsque, dans les équations (2), on donne à s,, s:, …, Sp des valeurs 
numériques, on en déduit pour Li, La, ++, Lp UN Seul système de valeurs, 
etalors les équations(1)don nent les valeurs correspondantes de 4,,u,,...,u,, 
Or on sait que les intégrales u® (xr, Yr), (= 1, 2, .…, p), lorsque x, est 
donné et que y ne l’est pas, admettent m systèmes de valeurs distinctes 
augmentées de multiples de périodes; on en conclut immédiatement qu’en 
négligeant les multiples de périodes conjuguées, les équations (1) donnent, 
PREG 3, ..., u,, me systèmes de valeurs. Parmi ces m?” systèmes, isolons 
“n sous-groupe de m systèmes de valeurs formés de la façon suivante. Le 
Premier système Li, l2, .…, Up est formé en associant à æ,, La, .…., Xp les 
valeurs Jis Pas... Jp de y; le deuxième u, u,, -.», u, est formé en asso- 
NE, x, o, æ, les valeurs y’, Ya, -+s Yp respectivement différentes 
de y,, ya, rs Ypy le troisième 4", &,, .…., u, en associant à Z,, Lay +, Lpy 
les valeurs VirT as +. 7, respectivement différentes des précédentes y,, 
i ur: Jp Jp; et ainsi de suite jusqu’au dernier système uf”, 
F +» Up”, obtenu en associant, dans les équations (1), àx,, £a, …., 
T, les valeurs S, VE, ee ya respectivement différentes des pré- 
Cédentes ; de telle sorte que les valeurs Yr, Yr, ...,.y{"” soient les m racines 
(1) Voir 
chen, de M. 
Untersuchungen ueber die 2r-fach periodischen Functionen von rFeränderli- 
Weierstrass (Journal de Crelle, t, 89). 
