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de $°, I? et m°. On sait, en effet, que, dans le cas général où un système de 
périodes d’intégrales normales est représenté par 
Dr oh, 
ren ch G; 
les modules Æ?, Z, m° de Richelot s'expriment par des quotients de fonc- 
tions © formées à l’aide de G, H et G’, pour des valeurs zéro données aux 
arguments; on a ainsi, en employant les notations de M. Weierstrass, 
E 0394 $ 
01:05 
7 rta 
ki 0:30, se 
O12801 
ec s M 
Ooi 3 
? 
L2 I . 
Il suffit de remplacer, dans ces expressions, H par — pour avoir l’expres- 
P ? , D 
sion générale des modules %, /, m donnant un polynôme du cinquième 
degré qui jouisse de la propriété indiquée. Il faut toutefois, bien entendu, 
ajouter à ces modules tous ceux qui s’en déduisent par une transformation 
du premier ordre. De plus, on peut exprimer, à l’aide des fonctions ©, 
comme on le voit dans le Mémoire couronné de Rosenhain (Savants étran- 
gers, 1851), les coefficients P et Q de l'intégrale normale 
[= Qz)dr 
5 , 
ayant précisément pour périodes 0, 1, G, H. En remplaçant dans P et Q 
H par 5 nous avons une intégrale hyperelliptique n'ayant que deux pé- 
x : P , Ti 
riodes, et l’on voit facilement que le quotient g Peut s'exprimer algébri- 
quement à l’aide de #, L et m. 
» Il faut maintenant obtenir la substitution algébrique qui transformera 
l'intégrale précédente en une intégrale elliptique. Nous établissons, à cet 
effet, la proposition suivante : Soit la fonction © de Jacobi obtenue en 
faisant 
akes et 2iK'=G; 
o| [PH biet al, 
£ 
To, Yo 
, » 
l expression 
Où x désigne une constante arbitraire, est une fonction du point analy- 
tque (x, y), qui a D racines. C’est, comme on le voit, une proposition 
