( 1706 ) 
analogue au théorème célèbre de Riemann dans la théorie générale des 
fonctions abéliennes. 
» Considérons maintenant l'équation 
XF D = 
(1) $ E 
Th Yo Y 
la fonction æ de u sera racine d’une équation algébrique dont les coeffi- 
cients seront des fonctions doublement périodiques de u. 
» Soit snx la fonction elliptique correspondant aux valeurs, indiquées 
précédemment, de K et K’, et désignons par À, l'intégrale (1), prise suivant 
un chemin arbitraire de (x,,7,)à (x = o, y = o); il résulte du théorème 
qui vient d’être énoncé que l’expression 
sn(uw)sn(2A,—u), 
u étant défini par l’équation (1), est une fonction rationnelle de x, dont le 
numérateur et le dénominateur sont des polynômes de degré D. La fonc- 
tion x de w, définie par l'équation (1), sera‘donc donnée par une équation 
de la forme 
nz = snu sn(2å, — u), 
f et F étant des polynômes de degré D. - 
» Mais on peut aller plus loin en faisant servir la relation précédente 
elle-même à la détermination de f et de F. Développons, en effet, dans le 
voisinage de x = xo, l'expression sn(x)sn(2A,— u) [où u représente l'in- 
tégrale (1)] suivant les puissances croissantes de æ — x,. Entre D + 1 coef- 
ficients consécutifs quelconques de ce développement devra exister une 
relation récurrente dont on trouvera les coefficients par des équations du 
premier degré; les coefficients de F (x) se trouveront alors déterminés, et 
lon trouvera de même uniquement, par des équations du premier degré, 
ceux de f(x). Le problème se trouve donc alors complètement résolu, car 
la transformation 
transformera l'intégrale hyperelliptique en une intégrale elliptique. 
» Remarquons, en terminant, que le cas considéré autrefois par Jacohi, 
où 
JF =x(1-x)(1 = ax)(1 —bx)(1 — abx), 
