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Théorème IV. — Si l'on opère une suhslilution circu- 

 laire sur les coefficients de l'équation 



«0 ■+■ c^i^ •+- ci^oc" +■ ■+- a,,x" =0 (a) 



de sorte qu'on produit la suivante 



Oi -+- a^x -f- a-^x^ -4- ~+- a„x"""' -\- a^x" = o . . (/3) 



la variation de la somme des fonctions symétriques , en pas- 

 sant de (a) à ((3) , ne dépend que des derniers termes de ces 

 deux équations ; et si S^ représente cette somme pour l'équa- 

 tion ((3) , on a 



i ( — i )" 

 S : S' -- - : . 



En effet, si, dans l'équation (17), on opère une substitu- 

 tion circulaire, le coefficient 



n ( )i — 1 ) li ( « — 1 ] 



^ , se change en ^ ' 



a a 



tandis que le déterminant lui-même, en conservant sa 

 valeur numérique change ou ne change pas de signe sui- 

 vant que n est impair ou pair; d'ailleurs, par cette substi- 

 tution circulaire, le nouveau déterminant est, par rapport 

 à {(3), ce que S est par rapport à (a). 



Corollaire. — Si nous continuons à opérer toutes les 

 substitutions circulaires, nous produirons en toutn -t- 1 

 équations, et si S, S', S'', ..... S^" + ^^ représentent les 

 sommes des fonctions symétriques, relatives à ces équa- 

 tions, on a 



S : S' S" ... : s^"+^> = -^ : - — -^ : ---^. : ... : ^- — - 



o" oo «r ciu 



