4* DE AEQVATIONIBVS 



poterit. Hoc fadto aequationem iflam differentialem fe- 

 cundi gradus ad differentialem primi gradus reducam, eam- 

 que in varias formas transmutabo, quo plurimas imo infi- 

 nitas obtineam aequationes dirferentiales primi gradus, quae 

 iisdem cafibus fint integrabiles. Hinc autem non folum 

 perfpicuum erit, aequationes inuentas illis cafibus efie inte- 

 grabiles, fed retrogrediendo etiam ipfa aequatio integralis 

 aflignari poterit. 



§. 4. Huiusmodi autem aequatio differentialis fecundi 

 gradus , quae requifitis illis fatisficiat , atque latiflime pateat, 

 efl haec: 



{a-\-bx n )x 2 ddv-\-{c-\-fx n )xdxdv-\-(g-r-hx u ) v dx 2 = o , 

 in qua variabilis x elementum dx pofitum efl conftans. 

 Ex hac autem aequatione valor ipfius v duplici modo per 

 feriem definiri potefl, qnorum alter elt , fi ponatur y zz: 

 A x n -f- B x m_Hl -f- C x m + in ~f- D x™*-™ -\- E x m ^-^ etc. 

 Hinc enim valoribus loco v , dv et ddv fubftitutis , et 

 terminis homogeneis fa&is =0, fequentes prodibunt co- 

 efficientium A , B , C , D etc. et exponentis m determi- 

 nationes. Primo enim debet efle g-\-c m-\-a m {m— 1 )zz:o y 

 vnde ne ad krationalia perveniamus, m potius tamquam 

 numerum cognitum fpectemus ex eoque g determinemus v 

 eritque g~ — c m — am( m — 1 ). Deinde vero habebimus 

 hoc valore loco g vbique fubftituto 



t> — A( b-t - fm-j-bm(m — i) ): 



■"' — - cn-+-an( 2 m-+-n — i > 



C — — B ( h -j~f(m-+ .ri) -h-bjjn -+-n) (m-+-n— i» 



2cn-^ 2 an{im-b-2n — i ) 

 y\ — — C (b-+-f(m-+,~n ) -k-b(m- +-2n){m-+- 2 n — Q) , 

 3Cn-i-i an(zm -f-jrc — i) 



P — D ( b -f- f( m-+- z n)-+-b(m - +-,n) <m-+- z n — rjj 



"' "" *cn-+-+an(2in-+-in. — i) ' etC» 



Erit 



