ARITHMETICORVM DEMONSTRATlOmS. 127 



Demonftratio. 



Quia eft « 2 -f-£ 2 quadratum , ponatur eius radix 

 zzz a-^-p, vbi fra&ionem | in minimis terminis pono 

 exprefiam ita vt p et q fint numeri inter fe primi. Facta 

 autem aequatione erit a 2 -\~b 2 zzza 2 -+- ^-4— f^. Vnde fit 

 a:bzzz pp — qq: zpq. Numeri autem pp—qqtt 2 pq inter fe 

 \el primi funt, vel communem habent diuifbrem 2. IUo 

 igitur cafu , quo pp—qq et zpq funt numeri inter fe primi, 

 . quod accidit , fi numerornm p et q alter fiierit par alter 

 impar , necene eft vt fit azzzpp — qq et bzzz zpq : quia a 

 et b numeri ponuntur inter fe primi. Cafu autem quo 

 numeri pp—qq et zpq communem diuifbrem habent 2 ;; 

 quod erit, fi numerorum p et q vterque fuerit impar ; (vter - 

 que enim par efle nequit , quia inter fe ponuntur primi ) ,, 

 erit a ■zz.W~~ qq e t bzzzqq. Ponatur autem p-\-q zzz 

 zr et p—qzzz2$ , erunt r et s numeri inter fe primi , 

 eorumque alter par alter impar . vnde fit azzzirs et bzzz 

 rr—ss ; quae expreflio , quia cnm priore congruit ,. indicat 

 fi aa-\-bb fuerit quadratum , et numeri a et b fint inter 

 fe primi , alterum eorum efle difrerentiam duorum qua- 

 dratorum inter fe primomm , quorum alter par eft alter im- 

 par, alterum vero numerum aequari duplici facto ex ra- 

 dicibus iftorum quadratomm. Hoc eft ene azzzpp — qq 

 et azzzipq , exiftentibus p et q numeris inter fe pri- 

 mis altero pari altero impari. Q, E. D. 



Coroll. 1. Si ergo fumma duorum quadratorum inrer 

 fe primorum fiierit quadratum , alteinm quadiatam par fit 

 necefie eft, alterum vero impar : ex quo feouitur fum- 

 mam duorum quadratorum imparium non pofie efle qua- 

 dratum. Co- 



