ARITHMETICORFM DEMONSTRATIONES. 119 



Lemma 3. 



Si fuerit aa—bb quadratum , exiftentibus a et b mime- 

 ris inter fe primis; erit a—pp-±-qq et vel bzzpp—qqvzl 

 bzzipq, vbi numeri p et ^funtinterfe primi, eorumque 

 alter par alter impar. 



Demonftratio. 



Qiiia aa-bb eft quadratum, ponatur #*— £ 2 z=r?*, erit- 

 que a 2 zzb 7 -\-c* , atque b et c numeri inter fe primi, 

 Cum igitur per coroll, 1 lemmatis praecedentis numero- 

 rum b et c alter par fit alter impar, necefie eft vt a fit 

 numerus impar \ b vero yel par erit vel impar, 



Sit primo b impar et c par, erit per lemma prae- 

 cedens bzzpp-qq et czzzpq, exiftentibus p et q nume- 

 ris inter le primis altero pari altero impari, Hinc autem 

 fit azzpp-\-qq, At fi b fuerit par et g impar j erit 

 b—p-pq et czzpp—qq , vnde denuo flt azzpp-\-qq. Quo- 

 circa fi aa—bb fuerit quadratum, erit azzpp-\-qq , atque 

 vel bzzpp-qq vel bzz%pq Q, E. D, 



Oro//, j. Si ergo dinerentia duorum quadratorum 

 eft numerus quadratus, maius quadratum debet efle nume- 

 rus impar , fi quidem illa quadrata inter fe fiierint nu- 

 meri primi, 



Qoroll 2, fimili porro modo intelligitur numeros 

 p et q minores efle quam numeros a et b y cum fit azzi 

 pp-hqq atque b vel zzpp—qq vel zzizpq. 



Ceroll. 3, fi fuerit aa—bbzzcc, vnus numerorum <z, 

 £ , <? femper per 5 diuifibilis exiftit. Nam cum fit azzz 

 pp-\-qq , bzzpp^qq et czzipq r 7 vel alter numerorum p 

 et q per 5 cuuifibilis eft vel neuter ' 7 illo autera cafu fit 



