*30 THEOREMATVM QPORFMDAM 



c diuifibile per 5. Hoc vero cafa emnt pp et qq nume^ 

 11 eiusmodi fbrmae Sn-hi. ergo vel pp—qq vel pp-\-q$ 

 per 5 diuifibile erit. 



Theorema r. 



Summa duorum biquadratorum vt a*-\-b* non potefl 

 cfle quadratum , nifi alterum biquadratum euanefeat.. 



Demondratio. 



In theoremate hoc demonftrando ita verfabor , vt 

 oftendam fi \no cafii fiierit a*-\-b* quadratum, quantumuis 

 etiam magni fiierint numeri a et £, tum continuo mino- 

 tes numeros loco a et b affignari pofle , atque tandem ad 

 minimos numeros integros perueniri oportere. Cum autem 

 in minimis numeris tales non dentur , quorum biquadraa> 

 rum fumma quadratum conftitueret, concludendum erit nec 

 inter maximos numeros tales extare. Ponnmus ergo a lr -\-b 4 ' 

 efie quadratum , atque a et b inter fe eflTe numeros pri- 

 mos j nifi enim primi forent , per diuifionem ad primos 

 reduci poflent. Sit a numers impar , b -vero par, qnfa 

 necefiario alter par alter impar effe debet. Erit ergo aa 

 ^pp-qq et bbznipq , numerique p et q inter fe ertint 

 primi , eonimque alter par alter impar. Cum autem 

 fit aa—pp—qq , neceffe eft vt p fit numerus impar, quia 

 alias pp—qq quadratum eflfe non poffet. Erit ergo p nu- 

 merus impar et q numenis par. Quia- porro ipq quadm^ 

 tum efle debet , necefle eft, vt ram p quam iq fit qua- 

 dratum , quia p et iq funt numeri inter fe primi. Vt ve- 

 ro pp-qq{\t quadratum, necefle eft, vr fit p—mm-+-nn et 

 qi—imn \ exiftentibus iterum m et n numeris in:er fe 

 primis- eorumque aitero pari altero impari. Sed quoniam 



H 



