AKITHMETXCORVM DEMONSTRATlONES. 131 



iq quadratum eft , erit ^mn feu mn quadratum ; vnde 

 tam m quam n quadrata emnt. Pofito ergo mzzxx et nzzzyy, 

 erit pzzim' 1 -\-n z zzix''-\-y lt . quod quadratum pariter efle de- 

 beret. Hinc ergo fequitur fi a^-\-b 4r fbret quadratum , tum 

 quoque x ir -\-y' r fore quadratum , manifeftum autem eft nu- 

 meros x et y longe minores fore quam a et b. Fari 

 igitur via ex biquadratis x*-\-y* denuo minora orientur , 

 quorum fumma eflet quadratum , atque pergendo ad mi- 

 nima tandem biquadrata in integris pemeniretur. Cum ergo 

 non dentur minima biquadrata , quorum fumma efficeret 

 quadratum 9 palam eft nec in maximis numeris talia dari. 

 Si autem in vno biquadratorum pari altenim fit~ o , in 

 omnibus reliquis paribus alterum euanefcet , ita vt hinc 

 xiulli noui cafus oriantur. Q. E. D. 



Coroll. 1. Cum igitur iiimma duornm biquadratorum 

 non poflet efife quadratum, multo minus duo biquadrata 

 conivmcta biquadratum efficere poterunt. 



Corolh 2. Quamquam demonftratio haec tantum ad 

 numeros integros pertinet , tamen etiam per eam confici- 

 ttu* , ne in fra&is quidem duo biquadrata exhiberi pofle, 

 quorum fumma eflet quadratum. Nam fi ^-\-~^ foret 

 quadratum , tum quoque in integris eflet a*n*-hb*m* qua- 

 dratum , quod fieri nequit , per ipfam demonftrationem. 



CoroII. 3. Ex eadem demonftratione colligere licet, 

 non dari eiusmodi numeros p et q , vt p , iq et pp—qQ 

 fint quadrata, fi enim tales exifterent, tum haberentur va- 

 lores pro a et b , qui redderent a^-^-fr quadratum , foret 

 namque azziV (pp—qq) et bzziVipq. 



CoroIL 4.. Pofitis ergo pzzzxx et iqzz^yy erit pp— 

 qqzzzx^—^y*. Fieri ergo omnino nequit, vt x*— 4-y* flt 



R 2. quadra- 



