ARITHMETICORFM DEMONSTRATIONES. itf 

 Demonftratio. 



Ponamus a et b numeros inter fe primos et za*-*» 

 s£ + efle quadratum , erunt a et b numeri impares. Fch 

 ret ergo 2{a-b) {a-\-b) {aa-\-bb) quadratum , ideoque 

 etiam eius pars decima fexta, feu {^- ) (Pj-) (^r- )', Qp\ 

 ft&ores cum fint inter fe primi , finguli elfe deberent 

 quadrata. Sit ergo ^-—pp et —^ — qq , erit a z% 

 pp-\-qq et b~qq-pp, vnde fit ^=^ =zp*-\-q\ cum igi- 

 tur q + -\-q 4 ' quadratum efle nequeant, etiam aa ~^ -, ideQ» 

 que 2a'--zb' <3uadrat-um efle nequit. Q; E. D. 



Theorema 5. 



Neque ma*>-m*b* neque 2ma*~-2m z b* poteft efie 

 quadratum, 



Demonftratio, ■ 



Ponamus a et b efle numeros inter fe primos , 



Stque «2 numerum efle nec quadratum nec per quadra- 



tum diuifibilem : fi enim m eflet diuifibilis per quadratum , 



tum fa&or quadratus per diuifionem tolli poflet. Pona- 



tur porro m efle numerum tam ad a quam b primum, 



erunt ob ma*—m 3 b*—m {aa—mbb) (aa-\-mbb) toti fac- 



tores inter fe primi , ideoque finguli efle deberent qua- 



drata. Fado ergo mzzpp , deberet {aa—ppbb) {aa-\-ppbb) 



efle quadratum , quod fieri nequit. Simili modo ob 



2.ma*—2m z b*zz2m (aa—mbb) (aa-\-mbb) , atque fa&ores in- 



ter fe vel primos vel binarium pro communi menta 



habentes , erit Yel im vel m quadratum ; priori vero calu 



fafto 2m—^.pp } oporteret efle a^—J\p*b* quadratum, quod 



Tom.X, S paritejc 



