ARITEMETICORVM DEMQNSTRATIONES. 141 



Demonftratio. 



Ponamus tf-\-z¥ effe quadratum , eiusque radicem 

 tf 5 -h™£ 2 ; vbi tam a et b quam m et n numeri erunt 

 inter fe primi. Fa&a autem aequatione erit nn 2 b 2 zzz 

 zmna*-\~m 2 b 2 , atque j£ =r ^r^ ; quae fradio vel fimpli- 

 ciflimam iam habet , vel diuifione per 2. ad fimplicifli- 

 mam erit reducibilis. Ponamus primo tmn et in 2 —m* 

 ttumeros effe inter fe primos , quod euenit , fi ffi fit nu~ 

 merus impar ; eritque tfzzzzmn et a 2 zzzin 2 —m 2 ; hic duo 

 euoluendi funt cafus, quorum alter eft fi n eft numerus 

 impar , alter fi n eft par ; illo cafu > quo n eft impar, 

 manifeftum eft ob m etiam imparem tmn fieri nonpofle 

 quadratum » hoc verO cafti , quo n eft numeruspar, fieri 

 tiequit a 2 zzzin 2 —m 2 feii a 2 -\-m 2 zzzm j ob a et ;« nume- 

 ros imparer ^ et m 2 numerum pariter pareirh Habeant 

 igitur zmtt et itf—m* communem diuiforem fi ^ quod 

 accidit fi #z fit numerus par s puta m=r2&, eritque » nu-* 

 merus impar ; habebitnr ergo $ zzz ■— ^ == ^— r^ , vbi 

 zkn et nn--ikk numeri eruttt inter fe primi. Hinc igitur 

 -ob b 2 et <z 2 pariter inter fe primos erk b 2 zzzikn et a 2 zzz 

 n 2 —ikk. At hic ikn fieri nequit quadratum, nifi fit k 

 numerus par. Sit ergo k numerus par , atque tam n quam 

 ik debebunt efie quadrata ; Fiat igitur nzzz.cc et ikzzz^dd^ . 

 vbi erit c numerus impar , hocque ft&o habebitur a 2 zzz 

 c*—&d\ Quo igitur inueftigemus an c^-bd* poflit efle 

 quadratum, ponamus eius radicem elfe c 2 —^dd. eritque 

 zq 2 d 2 zzzpqc 2 -ppd 2 ; feu ~~ zzz jpzfzjq ; vbi itcrum tam c 

 et d qnam p ct q funt numeri inter fe primi. Hic de» 

 nuo duo cafus funt notandi , fiue p fit numerus impac 



S 3 te 



