ARITHMETICORVM BEMONSTRJTIONES.t^ 

 Theorema 10. 



Nullus Cubus , ne quidem numeris fra&is exceptis. 

 vnitate auctus quadratum efficere poteft , praeter vniaim 

 cafum, quo cubus eft 8. 



Demonftratio. 



Propofitio ergo huc redit , \t §3 -\- 1 nunquam efle 

 poffit quadratum , praeter cafum quo §• — 2. Quocirca 

 demonftrandum erit hanc formulam a J b-\-b* nunquam fi- 

 eri pofle quadratum , nifi fit a =z ib. 



Haec autem expreflio refbluitur in iftos tres faclores 

 b[a-\-b) (aa—ab-\-bb) qui primo quadratum conftituere 

 poffunt fi efle poflet b[a-\-b)~a a -ab-\-bb y vnde prodit 

 a~2b, qui erit cafus , quem excepimus. Pono autem, 

 vt vlterius pergam , a-\-b— c, feu azzc-b, qna facta 

 fubftitutione habebitur bc{cc-3bc-{-$bb) , quam demon- 

 ftrandum eft quadratum efle non pofle , nifi fit i—$b\ 

 fiint autem b et c numeri inter fe primi. Hic autem 

 duo occurrunt cafus confiderandi prout c vel multiplum 

 eft ternarii vel fecus: illo enim cafu factores c et cc-^bc 

 -\-%bb communem diuiforem habebnnt 3, hoc vero omnes 

 tres inter fe emnt primi. Sit primo c non diuifibile per 

 3, neceffe erit , vt finguli illi tres ftdtores fint quadrata, 

 lcilicet , b, et c , et cc—^bc^^bb feorfim. Fiat ergo 

 €CSbc-\-zbb-(^b-c)\ entr— f~ '- vel b -—^~r^ 

 cuius ftactionis termini ernnt primi inter fe , nifi m fit 

 multiplum termrii; fit ergo m per 3 ncn diuifibile, erit 

 vel c~^nn—mm "vel c—mm—^nn ; et \el tzzsnn-zmn^ 

 vel bz^imn—^nn. At cum ^nn—mm quadrat> m efle ne- 

 queat , ponatur czz.mm-$nn , quod quadratiuTi fiat radicis 

 Tom. X. T *»- 



