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extrémités sur la surface, on doit poser $s—o, ce qui con- 

 duit, comme on sait, aux équations :■ 



. dp_ __ dq_ = dr 



U rfF = c/F rfF ' 



rfx (ty d* 



qui montrent que le plan oscillateur de la courbe cherchée 

 est constamment normal à la surface. 



L'équation (1), d'où se tirent ainsi les équations des 

 lignes géodésiques d'une surface donnée, peut aussi servir 

 à établir diverses propriétés de ces lignes, et cela d'une 

 manière assez simple. Concevons en effet que la courbe 

 variable dont la longueur est représentée par s, ne cesse pas 

 d'être une ligne géodésique. Comme elle satisfera en chacun 

 de ses points aux équations (2), la partie de $s, qui est 

 exprimée par une intégrale dans l'équation (1), sera nulle 

 d'elle-même , et disparaîtra , de sorte que la variation de 

 la longueur d'une ligne géodésique sera donnée simple- 

 ment par la formule : 



(5) . . fc =p'<% 4- q'fy + r'rTi — [pfâ + q^y { + r^J. 



Les extrémités (§, *» £)., (x, xj, z) seront soumises à 

 certaines conditions. Appelons &r, 8s { les arcs infiniment 

 petits qu'elles doivent décrire sur la surface, ©, ^ les 

 angles sous lesquels ces arcs sont coupés par la ligne géo- 

 désique variable que l'on considère. On a évidemment : 



COS y = p — 



oc oc 



cos 3> â == Pi — 



05, 





