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 d'où nous concluons de suite : 



(i) os = rh cos f — Js t cos f A . 



Cette expression est celle dont nous allons faire usage; 

 on en déduit sans peine les propriétés des lignes géodé- 

 siques données par Gauss, dans son mémoire sur la théorie 

 des surfaces (*). 



§ II- 



Considérons une courbe PMQ (fig. 1) tracée sur une 

 surface, et définie par une relation entre les longueurs 

 sets' des lignes géodésiques, menées d'un point quel- 

 conque de cette courbe normalement à deux courbes don- 

 nées AB, CD sur cette surface. 



On aura donc pour équation de la courbe PMQ : 



F (s, s') = o. 



Désignons par <p, cp' les angles sous lesquels les lignes 

 géodésiques coordonnées MM d , MM 2 , coupent respective- 

 ment la courbe PMQ. Les variations es, ds f , calculées 

 par la formule (4), en observant que chaque ligne géodé- 

 sique reste toujours normale à l'une des courbes AB, CD, 

 sont : 



cTs = âff COS ? , âs' = Sa COS f , 



et comme on a d'ailleurs : 



dF dF 



— as -♦- — Ss' = O, 



as as 



(*) Gauss, Disquisitiones générales circa superficies curvas; Comm. 

 de Gottingue, t. VI. 



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