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§ III. 



Supposons que la surface donnée se réduise à un plan : 

 les lignes géodésiques deviennent des lignes droites, et 

 l'on peut facilement réaliser les conditions ci -dessus au 



moyen d'un tracé continu. 

 Traçons deux courbes à 

 volonté, EF, GH : suppo- 

 sons un fil fixé par ses ex- 

 trémités en deux points pris 

 sur ces deux courbes, et en- 

 roulé sur ces courbes dont 

 il se détache tangentielle- 

 ment, suivant les tangentes 

 T 2 M, T 4 M, au moyen d'une 

 pointe à tracer qui tient ce 

 fil constamment tendu , de telle manière qu'en s'enrou- 

 lant sur EF, par exemple, il se déroule sur GH. Il est 

 clair qu'un point M d du fil décrira une développante de 

 la courbe EF; un autre point, tel que M 2 , décrira une 

 développante de la courbe GH : cela résulte de la con- 

 struction même, et les portions rectilignes MT 1? MT 2 , du 

 fil, seront constamment normales à ces développantes 

 respectivement. Il est donc évident que la courbe tracée 

 par la pointe sera telle que la somme des distances MM,, 

 MM 2 , de chacun de ses points à deux courbes données, 

 sera constante, ce qui rentre dans les conditions du 

 théorème précédent. D'où il suit : que la courbe décrite 

 par la pointe dans les conditions que nous venons d'indi- 

 quer, a sa tangente en chaque point également inclinée 

 sur les deux portions du fil qui aboutissent à ce point. 



