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§ VI. 



On pourrait encore faire bien d'autres applications de 

 l'équation (4). Bornons-nous à certains cas particuliers 

 très-simples. 



Considérons une courbe telle que le rapport des dis- 

 tances géodésiques de chacun de ses points, à deux courbes 

 données sur la même surface, soit constant. 



On aura ici : 



s , , / » cos ? j s 

 — — h, ou s — ks = o, cos f — k cos j. — o, = k === — • 



s' COS o S 



Les angles <p et <p' auront donc leurs cosinus dans un 

 rapport constant. 



Lorsque la surface est un plan, que l'une des courbes 

 se réduit à une ligne droite et l'autre à un point, la 

 courbe est une section conique dont k est le rapport e de 

 l'excentricité au demi-grand axe. Ainsi, dans toute section 

 conique, les cosinus des angles que fait la tangente avec les 

 droites menées du point de contact à un foyer et à la direc- 

 trice correspondante , sont dans un rapport constant, égal 

 à e. 



D'où l'on déduit cette propriété curieuse relativement à 

 la réfraction. 



Les rayons lumineux qui arrivent, parallèlement au grand 

 axe, sur une ellipse dont l'indice de réfraction est égale à 

 - , vont converger à l'un des foyers. 



Les rayons lumineux qui arrivent, parallèlement à l'axe 

 réel, sur une branche d'hyperbole dont l'indice de réfrac- 

 tion est égal à- , divergent , après la réfraction, comme s'ils 

 venaient du foyer de l'autre branche. 



