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Supposons maintenant que le produit des distances géo- 

 désiques de chaque point de la courbe à deux courbes tra- 

 cées sur la surface, soit constant : 



On a 



ss' = k, s' COS f -+- S COS f = O. . . . (a) 



Le rapport des cosinus des angles <p et 9' est donc égal au 

 rapport des distances s et s', pris en signe contraire. 



Dans le ras particulier où la surface proposée se réduit 

 à un plan, l'équation (a) donne la construction suivante : 



Lorsqu'une courbe est telle que le produit des normales 

 abaissées de chacun de ses points sur deux courbes données 

 est constant, si l'on prolonge ces deux normales chacune 

 d'une longueur égale à l'autre, la diagonale du parallélo- 

 gramme, construit sur ces deux prolongements, sera la 

 normale à la courbe cherchée. 



Cette construction s'applique immédiatement à la lem- 

 niscate, où les deux courbes données se réduisent à deux 

 points, et à l'hyperbole, où chaque courbe se réduit à une 

 ligne droite. 



§ m 



L'équation (4) peut aussi être utile dans la théorie des 

 surfaces. 



Supposons qu'une surface soit définie par une équation 

 entre les normales s, s', s", menées d'un point quelconque 

 (f, v, Ç) de cette surface à trois surfaces fixes données. 

 En sorte que 



F (s, s' , s") = 

 sera l'équation de la surlace cherchée exprimée au moyen 



