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Concluons que, quelle que soit la ligne M, on peut 

 toujours trouver une série de lignes M' conjuguées entre 

 elles et avec la première, de telle façon que les surfaces 

 engendrées par ces lignes dans leur rotation autour de 

 l'axe des x soient toutes développables les unes sur les 

 autres, sans déchirure ni duplicature. Ce résultat, très- 

 général et très-simple, nous paraît curieux. 



Considérons en particulier le cas de la sphère , la ligne 

 M ayant pour équation 



x" -H î/^ = r'. 

 On déduit de là pour équation des lignes M' 



y = fxr cos y, x' =Jrdv l/l — /u^ sin' f. 



Ces équations sont précisément celles que nous avons 

 obtenues , dans un autre travail , pour la ligne méridienne 

 de rhéliçoïde qui dérive de la sphère , et qui jouit de la 

 propriété d'avoir en chacun de ses points une même cour- 

 bure moyenne. Il est remarquable que cette même ligne, 

 suivant qu'elle tourne sans glisser autour de l'axe des x, 

 ou qu'elle glisse le long de ce même axe avec une vitesse 

 dont le rapport à la vitesse de rotation est exprimé par 

 le produit r V" \ — p-'^, engendre, dans le premier cas, une 

 surface développable sur la sphère; dans le second, une 

 surface à courbure moyenne constante. 



On pourrait multiplier indéfiniment ces applications. 

 Bornons-nous à en donner une seconde. 



Soit un eUipsoïde ayant pour ligne M, une ellipse dont 

 le petit axe est situé sur l'axe de révolution. L'équation 

 de la ligne M étant 



jr^ ?/^ 



(15) -+77='- 



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