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et (jue cette condition suffît (railleurs, quels que soient 

 ^M Qî ^'-o-, C^; d'où il suit qu'en regardant Ci, C2, C5, Q 

 comme des constantes arbitraires, l'équation précédente 

 est bien l'intégrale générale de l'équation (a). D'ailleurs, il 



est évident que Y,/ VidXj Y^JUi dxJ^Sidx, sont 



autant d'intégrales particulières de l'équation (a), que l'on 

 ])eut désigner par Y2, Y3, . .' . . donc, l'intégrale générale 

 de l'équation (a) est bien de la forme : 



y := CiY, -V- C2Y2 -^ CjYg -f- QY4, 



et la démonstration s'étendant à une équation d'ordre qiiel- 

 conque, il en résulte la proposition énoncée. 



Remarque. — 11 suit visiblement de cette démonstration 

 que la connaissance d'une intégrale particulière de l'équa- 

 tion (1) permet d'abaisser d'une unité l'ordre de l'équation, 

 et que l'équation (1) ne pourrait avoir aucune solution 

 singulière. 



IL Supposons donc que l'on ait trouvé, d'une manière 

 quelconque, n intégrales particulières y,, 2/2, • • • • y« de l'équa- 

 tion (1), et déterminons sous quelles conditions ces n inté- 

 grales, multipliées par des constantes arbitraires et ajou- 

 tées, donneront l'intégrale générale. D'abord, ?/i, y^, //„ 



sont comprises dans l'intégrale générale (2), puisque ce 

 sont des intégrales particulières. On a donc : 



^, = ^,Y, -f- u^.^ -f- -f- a,J,, 



y^ = i3,Y, -^- Q^^i, -^ -t- /3„Y„ 



ti ^ n î 



Vu = -'iV, H- ^'^Y^ + -f- >,,Y, 



a,, ^2, . . . . a„, ^1, {%, , . . . étant certaines constantes dé- 



