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lïl. Mais cette condition peut être ramenée à des termes 

 plus simples, car nous allons faire voir que : 



1° Si le déterminant A est nul, les fonctions y^])^, ?/» 



satisfont nécessairement à une équation de la forme : 



A4, A2, . . . . A„ étant des constantes déterminées qui ne 

 sont pas toutes nulles. En effet, en faisant Ci, Ca, . . . . C„ 

 nuls dans les équations (4), on a : 



a, A, -4- /3,A.2 -♦- -f- A,A„ =^ 



ajA, H- /3.2A2 -+- -\- /iA„ = o 



(6). 



^«A, -\- /3„A2 -f- -+- /„A„ = 0; 



et l'on sait par la théorie générale des équations du pre- 

 mier degré que, si le déterminant A = 0, il sera toujours 

 possible de satisfaire à ce système d'équations par des va- 

 leurs de Al, Aa, . . . . A„ qui ne soient pas toutes nulles : 

 c'est d'ailleurs ce qu'il serait facile de démontrer directe- 

 ment. Ces équations détermineront les rapports seuls des 

 constantes Ai, A2, . . . . A„ qui ne sont pas nulles. — On 

 voit donc par là que l'on pourra toujours trouver pour 

 Al, A2, A„ des valeurs telles, que l'intégrale (2) s'éva- 

 nouisse, X restant quelconque, ou, en d'autres termes, 

 que l'équation (5) ait lieu, si A = o. D'où il suit évidem- 

 ment que, si l'équation (5) est impossible, à moins de 

 poser Al = A2 = . . . = A„ = 0, le déterminant A n'est 

 pas nul, et, par conséquent, l'expression y = k^y^ H- Aji/i 

 -h . . . + A„ ?/„ est l'intégrale générale de l'équation (1), 

 Al, . . . A„ étant arbitraires. 



