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2'' Réciproquement, si les fonctions i/i, y^, . . . y„ satis- 

 font à une relation de la forme : 



(5) Ai3/i -ï- A2Î/2 -+- -f- A„y„ = 0, 



il faut nécessairement que le déterminant A soit nul. — En 

 effet, substituant dans l'équation (5) les valeurs 2/1, 2/2? • . .2/« 

 en Fi, etc., données par les équations (5), et observant que , 

 d'après ce qui vient d'être établi, les fonctions Y^, Y2, . . . Y„ 

 ne peuvent satisfaire à l'équation ainsi obtenue, à moins 

 que leurs coefficients ne soient tous nuls séparément, on 

 aura entre les constantes Ai, A2, . . . A„, n équations, qui 

 ne diffèrent pas des équations (6), ou des équations (4) dans 

 lesquelles on fait Ci, C2, . . . Cn égaux à zéro. Or, il est encore 

 évident que ces équations (6) ne peuvent être satisfaites 

 par des valeurs de A,, A2, . . . A„ différentes de zéro, à moins 

 que le dénominateur commun des valeurs de A,, A2, . . . A„, 

 ou le déterminant A, ne soit égal à zéro. — Ainsi, l'exis- 

 tence d'une relation de la forme (5), entre les fonctions 

 yiiVi-, ' ' ' Vn-, entraîne forcément cette conséquence, que 

 le déterminant A = 0, et que , par suite , A, 2/1 h- A2 2/2 + • • . 

 + A„2/« ne peut être l'intégrale complète de l'équation (1). 

 Il est d'ailleurs évident que si les fonctions 2/1,2/2».-. 2/n 

 étaient liées entre elles par une équation de la forme (5), 

 on pourrait éliminer l'une d'elles de l'expression : 



y = Ai2/i -+- A22/2 -H -+- A„i/„, 



laquelle ne renfermerait plus alors n constantes arbitraires, 

 et ne pourrait plus être l'intégrale générale. 



Donc enfin, la condition nécessaii^e et suffisante pour 

 que n intégrales particulières yi, Jâ, . . . y„ de V équation (i), 

 multipliées par des constantes arbitraires et ajoutées , 

 puissent former V intégrale générale de cette équation , est 



