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férenlielles, il est une autre condition à laquelle doit satis- 

 faire l'intégrale générale y de l'équation (1) : c'est que l'on 

 puisse disposer des n constantes arbitraires qu'elle ren- 

 ferme, de telle manière que, même en attribuant à x une 

 valeur déterminée aco, la fonction y et ses (n — \) pre- 

 mières dérivées puissent encore recevoir des valeurs don- 

 nées arbitrairement (*). Or, la valeur de y, composée de n 

 intégrales particulières, étant : 



y = A,«/i -\- X^y^ -+- -^ A„i/„, 



donne : 



dy dy, dy^ dy,^ 



dx dx dx dx 



^\^X — 4 ^' H A -•-- 



dx"^ dx^ ^ dx^ " dx^ 



d"-'y d"-hj, d"-% d^-'y, 



~ = A, -t- A2 7 -+- -4- A„ — ; 



(/x"-' dx"-^ dx"~' dx"-^ 



cette valeur de y ne peut donc être l'intégrale générale 

 que si, après avoir donné à x une valeur arbitraire Xo, et 

 à ?/, ^, . . . ^"— J( des valeurs quelconques, les n équations 

 précédentes fournissent pour Ai, A2, . . . A„ des valeurs 

 linies et déterminées en général ; ce qui exige évidemment 

 que le dénominateur commun des valeurs de Ai, A^, . . . A„, 

 ou le déterminant, formé des coefficients de ces quantités, 

 ne soit pas nul, quel que soit x^, et, par conséquent, quel 

 que soit x. Cette condition nécessaire et suffisante, étant 



(*) Voir, par exemple, Moigno, Calcul intégraL p. 548. 



