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 lY'qiiatioii du quatrième ordre (n = o) : 



^ Ldx^ dx' [dx'l J "^ dx Idx' dx' dx dx' J 

 djrdi c£y __ hl^V' 

 dx'^ Ldx dx% \dx^ I 



= 0, 



a pour intégrale : 



y = e"'^ (C, cos /3x •+• C2 sin (3x), 



Ci, Cj, a, (3, étant des constantes arbitraires; et ainsi de 

 suite. 



VJf. Nous remarquerons encore que les constantes 

 «, , «2, . . . «„_„ étant arbitraires dans l'équation (10), on est 

 libre d'en supposer deux, trois, . . . égales entre elles. Mais 

 alors la formule (10) ne représente plus l'intégrale com- 

 plète de l'équation (9), comme on sait : ainsi, si l'on suppose 

 successivement a^ = 0,, r/3 = «^ = a, , . . . , on doit donner . 

 à l'intégrale de l'équation (9) les formes successives : 



y = (C, -4- C,x) e"^^ -t- . . . . -t- C,_i e«"-i^ 



(1 1) j y = (C, -f- C^x -4- C-jr^) f'"'^ -4- .... -^ C„_, e"'-'^ 

 [ y = (C, -+- C,x -+- C,x' -♦-....-+- C„_i X"-') e"'^; 



ce sont donc là autant d'intégrales de l'équation (8) con- 

 venant à des relations particulières entre les constantes 

 arbitraires «1, 0.2, . . . a„_,, et comme elles ne sont pas ren- 

 fermées proprement dans la formule (10), on voit que les 

 expressions (11) doivent être considérées comme autant 

 de solutions singulières de l'équation (8), les constantes 

 Cl, C2, ... C„_„ fli, ... «„_i étant toujours arbitraires. 



YÏII. On conçoit qu'il serait facile d'imaginer d'autres 

 applications de l'équation (7). 



