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 ce qui donnera, en substituant dans l'équation précédente : 



\dx^ dxl 



dx 



= 



ou réduisant : 



(12) 



d'y ^d^j IdyV 



—— -+- A -— -f- I I — I = 0. 



dx dx \dxl 



Cette équation, que M. Liouville a traitée par une mé- 

 thode fort élégante (*), aura pour intégrale première, en 

 vertu de notre théorème : 



Ai^i + A^, = ou A. e-^^^y + A, e^^^^ (^) = «' 



ou, en séparant, les variables : 



A, e-^^^'^ dx -+- A, e-^^'^'J dy = o; 



en sorte que l'intégrale générale de l'équation (12) sera, 

 en désignant par ^ = Ci et par d deux constantes arbi- 

 traires : 



/e'/Yc^y dy + C, yÇ-/^^'^-^- dx = C, : 



c'est la formule de M. Liouville qui se présente ici comme 

 un cas très-particulier de la nôtre. 



(') Journal de mathématiques pures et appliquées, t. VII, p. 134. 

 Moigno, Calcul intégral, p. 672. 



