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réglées celles dont la courbure moyenne est constante. Ce 

 problème a été résolu par M. Catalan , au moyen de l'ana- 

 lyse différentielle (*), pour le cas d'une courbure moyenne 

 nulle. Ici nous allons le résoudre d'une manière générale 

 et par la voie purement géométrique. 



Soit D la génératrice d'une surface réglée; m un point 

 de cette génératrice : N w la section normale faite en ce 

 point perpendiculairement à la génératrice D; r le rayon 

 de courbure de la section N M au point m. 



On sait qu'en chaque point d'une surface, la somme in- 

 verse des rayons de courbure de deux sections normales 

 rectangulaires est constante (voir au besoin n° 27). Cette 

 somme inverse est ce qu'on nomme la courbure moyenne 

 au point considéré. 



Dans une surface réglée, l'une des sections normales 

 étant N w , pour le point m, la section normale rectangu- 

 laire, conjuguée avec N w , est la génératrice passant par le 

 point m. Il en résulte que la condition à remplir pour que 

 la courbure moyenne soit constante en tous les points 

 d'une surface réglée se réduit à 



1 



- =r const. 

 r 



Considérons d'abord les surfaces développables. Elles 

 sont ou non cylindriques. Dans le 1 er cas, le rayon r de- 

 meurant invariable pour tous les points d'une môme 

 génératrice, la condition à remplir consiste en ce que 

 ce rayon ne change point d'une génératrice à une autre. 

 La conséquence est que le cylindre droit à base circu- 



O Voir Journal de Liouville. Année 1842, tome VII , pagti 303. 



