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se trouve assujetti à subir l’ane ou l’autre des cinq condi- à 
tions suivantes : 
1° Demeurer constant; 
% Converger vers une limite constante ou nulle; 
5° Croître sans limites ; , 
4 Osciller sans fin entre plusieurs limites distinctes; 
5° Convyerger vers une limite qui dépende de la valeur 
attribuée à la variable x et change avec cette valeur. 24 
On démontre aisément , qu’abstraction faite du cas par- 
ticulier où la fonction y est linéaire et où la condition (4) 
se réalise d’une manière permanente, chacune des trois | 
premières conditions n’est jamais possible que pour cér- 
taines valeurs de la variable, conservant entre elles des | 
écarts déterminés. Quant à la quatrième condition, je ne « 
pense pas qu'on s'en soit occupé Jusqu'ici, ni surtout qu’on | 
soit parvenu à démontrer, pour elle comme pour les trois 
premières, qu’elle est généralement impossible. De là une 
lacune regrettable, qui oblige à ne voir, dans le théorème 
exprimé par l'équation (4), qu'un résultat constaté pour 
certaines fonctions , et sur lequel il n’est pas permis de 
s'appuyer pour des déductions ultérieures, que dans les cas 
spéciaux où l’on en a vérifié, d'avance, la rigoureuse exac- 
litude. Jai entrepris la tâche délicate de combler cette la- 
«une, et je crois y être parvenu, sinon aussi simplement que 
je laurais voulu , du moins avec toute la rigueur désirable, 
el sans recourir à d’autres notions que celles dont on à 
besoin en algèbre pour la résolution des équations du pre- 
mier degré. 
Arrivé à ce point, J'ai pu conclure que la condition (5) 
subsistait seule d’une manière géuérale et permanente. 
J'ai, en outre, établi as la fonction dérivée f(x) limite 
du rapport re I) est elle même continue, soit pour 
