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Sur quelques propriétés des polygones réguliers, par 

 M. Vander Mensbrugghe. 



Rapport de M. Tinwnervna»**. 



« Depuis longtemps on avait fait la remarque que la 

 somme des projections sur un axe des côtés d'un polygone 

 quelconque fermé est égale à zéro. M. Vander Mens- 

 brugghe a cherché à généraliser ce théorème en l'étendant 

 à la somme des puissances d'un ordre quelconque de ces 

 mêmes projections, dans le cas d'un polygone régulier et 

 d'un axe renfermé dans son plan. Ses recherches l'ont con- 

 duit à plusieurs résultats intéressants et d'une extrême 

 simplicité. Ainsi il fait voir : 



1° Que la somme des carrés des projections est indé- 

 pendante de la position de la droite et qu'elle est égale à 

 la moitié du carré de l'un des côtés multiplié par le nom- 

 bre des côtés ; 



2° Que la somme des puissances impaires quelconques 

 de ces projections est toujours nulle ; 



3° Et que la somme des puissances paires m des projec- 

 tions des côtés d'un polygone régulier de n côtés est égale 

 au rapport du produit des nombres impairs inférieurs à m, 

 au produit des nombres pairs jusqu'à m multiplié par le 

 nombre de côtés et par la puissance m de ce côté. 



La démonstration de ces résultats et de quelques autres 

 qu'il indique dans sa note sera lue avec plaisir par les 

 personnes qui s'occupent d'analyse géométrique, et j'ai 

 l'honneur de proposer à la classe de l'insérer dans ses Bul- 

 letins. » 



D'après ces conclusions, appuyées par M. Brasseur, se- 



