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même polygone : les résultats auxquels j'ai été conduit 

 présentent peut-être quelque intérêt, à cause de leur 

 grande symétrie et de la loi très -simple à laquelle ils se 

 trouvent soumis; c'est pourquoi, bien que je ne sois pas 

 sûr que ces résultats n'aient déjà été publiés, je me 

 suis décidé à en faire l'objet d'une communication à l'Aca- 

 démie. 



Soient n le nombre des côtés du polygone régulier, a 

 leur valeur commune, a le supplément de l'angle de deux 

 de ces côtés et x l'angle que fait un côté quelconque avec 

 l'axe de projection situé d'une manière arbitraire dans le 

 plan du polygone; les autres côtés formeront évidemment 

 avec ce même axe des angles respectivement égaux à 



X -+- a , X H- 2a, DC H- 5«, X -4- (?l — l)a OU X-4-27T — a, 



et les projections des n côtés seront : 



a cos x, a cos (x -+- a), a cas (x •+- 2a) ...., a cos [x ■+■ 27r — a] ; 



or, la somme de ces projections que je représenterai par 

 S f , sera, comme on sait, 



X + 27T 



Î5 1 =r a s,. cos x = o. 



Il s'agit maintenant de trouver la somme S 2 des carrés 

 de ces mêmes quantités. A cet effet, remarquons que l'on a: 



cos 2 # = — ■+- - cos 2sc; 

 2 2 



d'où l'on tire : 



S a = a 2 (cos 2 X H- cos 2 (x H- a) -h -4- cos 2 [x -4 (n ■ — 1) a]) 



n \ 



— h — 

 2 2 



-J- 2L cos 2x 



