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 or, le calcul des différences fait voir que 



2 X cos 2x 

 est nul; donc 



a — -y 



formule qui est l'expression de ce théorème très-général : 



La somme des carrés des projections des n côtés d'un 

 polygone régulier sur un axe quelconque situé dans son 

 plan est constante et égale au demi-produit du nombre des 

 côtés par le carré de l'un d'eux. 



m 



Pour obtenir la somme S 3 des cubes de nos projections, 

 rappelons que l'on a 



5 1 



cos 3 x — — COS X -4- - COS ÔX, 



4 4 



et conséquemment aussi : 



~ _ «-J-2T ~. -\à x + 2/T ' x + 2T _ 



S- = a 3 2,. cos 3 x = a 3 \-Z r cos a: -+- - z_ cos 3x 



x \4 4 



mais ces dernières sommes sont toutes deux nulles; donc 



s 3 = o, 



c'est-à-dire que la somme des cubes des projections des 

 côtés d'un polygone régulier est égale à zéro. 



De même, pour la somme S 4 des quatrièmes puissances, 

 ou aura successivement 



i 



cos 4 x — — cos 2 x h- —(cos 4a; -+- cos u 2x ). 

 4 8 



