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S 4 = tt*2, cos 4 a: = — 2 X cos 2 a; 



4 



tt x4-2T 



h 2 X ( cos 2x -+- cos 4ac ) ; 



o 



remplaçant la première somme par sa valeur - , et obser- 

 vant que la seconde est nulle, on obtient 



5wa 4 



S 4 = 



Par des calculs analogues , on pourrait chercher directe- 

 ment les sommes des puissances cinquièmes, sixièmes, etc.; 

 mais cette méthode est bien longue, et, de plus, elle ferait 

 connaître difficilement la loi que suivent les différentes 

 sommes. Pour découvrir cette loi, recourons à la formule 

 qui donne le développement de cos TO x, m étant entier et 

 positif, en fonction des cosinus des multiples de l'arc x; 

 cette formule, démontrée dans les traités de calcul diffé- 

 rentiel (1), est la suivante : 



cos m # = — ( cos mx -4- m cos ( m — 2) x 



m (m — I ) 

 h cos [m — 4) x -+- -+- cos ( — mx)) ... (*) 



Distinguons le cas où le nombre m est impair de celui 

 où il est pair : 



1° Si m est impair, chaque terme du développement se 

 trouve répété deux fois, et, par conséquent, nous pouvons 



( ¥ ) Voir, par exemple, le Traité de M. Timmermans,chap. Il , n° 6o. 



