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 et si Ton adopte la notation suivante : 



i=« / (if dé tl'i dé \ 



i = i \ dq { dp { dpi d(ji I ' 

 l'équation : 



( y , é ) = const. 



sera une troisième intégrale du système (1), en général (*). 

 Cette troisième intégrale pouvant, à son tour, en donner 

 de nouvelles à l'aide de la même combinaison , le théorème 

 de Poisson permettrait de tirer, de deux intégrales © = a , 

 & = (3, la solution complète du problème, si malheureu- 

 sement, dans un grand nombre de cas, la combinaison 

 (f, <p) de Poisson ne se réduisait pas identiquement à zéro, 

 ou à une constante numérique, ou à une fonction des deux 

 intégrales ?, <£, déjà connues (**), auxquels cas l'équa- 

 tion (f, &) = const., se réduit à une simple identité et ne 

 fournit pas une intégrale nouvelle. 



Toutefois, dans ces cas d'exception, on peut tirer un 

 parti avantageux des intégrales trouvées pour simplifier le 

 problème de l'intégration , comme cela ressort des travaux 

 de MM. Jacobi et Bour (***), et la liaison intime de toute 

 cette théorie avec celle de l'intégration des équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre donne une impor- 

 tance nouvelle à la recherche des propriétés de la fonction 

 (f, <p) de Poisson. 



f) Mécan. anal., p. 423. 



(") Voir Mécan. anal., p. 424, et un mémoire de M. Bertrand, Journal 

 de Liouville, t. XVII, p. 396. 



(***) Bour, Mémoire sur l'intégration des équations de la mécanique, 

 (Savants étrangers de l'Institut de France, t. XIV). — Jacobi, Nova me- 

 thodus equal. diff. partiales primi ordinis integrandi. Journal de Crelle , 

 t. LX,p. 1. 



