( 619 ) 



Je me propose d'étudier ici ces propriétés et d'établir 

 directement une classification remarquable des intégrales 

 du système (1) au point de vue de la combinaison de Pois- 

 son. Partant de là, et de quelques autres propriétés faciles 

 à établir de la fonction (?, </»), j'indique brièvement com- 

 ment on arrive, par une voie nouvelle et plus rapide, aux 

 résultats bien connus , qui font de cette théorie une des 

 plus avancées du calcul intégral. 



Je m'appuierai sur le théorème suivant de Jacobi : soient 

 ? 5 ^ > % trois fonctions quelconques de t, qi, . . . q„, pi, . . . p n ; 

 si l'on forme les combinaisons : 



(f, t)> {%, f), (^3 %)» 



on aura identiquement : 



[?, ('h %)] -t" |>, (%, ?)] H- [%, (y, ^)]==0. 



Cette équation se vérifie par de simples différentiations. 



J'appelle toujours intégrales du système (1) les inté- 

 grales de la forme : 



f (* , q l9 ? 2 , • • • q n , Pi, Pi, • • • Pn) = const., 



ce sont celles-là seulement dont les propriétés sont à exa- 

 miner ici. 



§ i- 



On sait que dans toute intégrale : 



?(t, qt, ?2, •• q n , Pi, Pu •• p*) = const., 



du système (1), la fonction f vérifie l'équation aux diffé- 

 rences partielles : 



df i= = n IdYL df dll df \ 

 dt ' =1 \dq { dpi dpi dq { I 



