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Ces principes rappelés, formons la fonction (f 4 , CT ) de 

 Poisson. 

 Nous avons : 



ou bien , en considérant w comme fonction immédiate de 

 ?i, ?«, . • • fin, et remarquant que ( f i<t n) = o, nous aurons : 



drs tira drs 



(3) (f i9 u) = (fi, f % )~ 1- {fi,f3)-j h ... 4- (fi, y 2M ) 



Mais, d'après le théorème de Poisson, (?i, ? a ) doit se ré- 

 duire identiquement à une certaine fonction de ? l , ?%,... fz», 



puisque l'équation : 



*, 



(fi? fa) = const. 



serait une intégrale du système (1); il en est de même de 



(fi, fz), . . . (n, nn) (*). Posons donc en général : 



(?i> ?J ^ /> (?»> f 2 ' *•• ? 2w )> 

 d'où: 



(?*»**) = f % —+f z - h ... -+- / 2n - — ; 



Cjp 2 d?Z U?în 



telle est l'expression de («?*, w) au moyen des dérivées par- 

 tielles de la fonction -w par rapport aux intégrales primi- 

 tives (2). 

 Cela posé, pour que la fonction (?i, w) se réduise iden- 



Ç) Ces fonctions pourraient d'ailleurs se réduire à zéro, ou à une con- 

 stante donnée, sans que cela changeât nos conclusions. 



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