( sw ) 



une intégrale conjuguée de l'intégrale h = *i, on obtient 

 toutes les autres en lui. ajoutant une fonction arbitraire 

 des intégrales pi, p 3 , ?«,'.... n», qui complètent la solution 

 et vérifient l'équation : 



Les intégrales (2), outre les conditions qui constituent 

 le théorème I er , peuvent être supposées satisfaire encore à 

 celles-ci : 



(«Kg, <f z ) =0, ( C5 25 ?i) = Q , (?2> ï>2») = : °- 



Pour le démontrer, rappelons que toute intégrale du pro- 

 blème de la forme : 



^Vfofaj p*j ••• P2») = const., 



vérifie la condition (^, w) = o, et qu'il n'y en a point 

 d'autre. Cherchons donc, parmi ces intégrales w, celles qui 

 satisferaient aussi à l'équation aux dérivées partielles : 



(fn *) = <>; 

 ou , d'après la formule (5) , à l'équation : 



drs dzs drz 4 



( 6 ) (?2>?i) T~ + (f2»?3)-J- -+- •••• -*-(?«» N/T- = °- 



On a d'abord : 



(fa» pi) = — 4» 



D'autre part, comme w ne peut renfermer ? 2 , l'équation 

 précédente n'est possible que si les coefficients (? 2 , ? 3 ),... 



(?2, ?a») sont fonctions de ?*, ?3, y*, y* seulement. Mais 



cette condition est satisfaite, car soit r - l'une des fonctions 



