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Ces remarques suffisent pour établir le théorème de Jacobi, 

 ainsi que le théorème pris par M. Bour comme base de sou 

 travail sur le sujet qui nous occupe (*). 



§ 2. 



La fonction de Poisson jouit de deux propriétés qui per- 

 mettent d'utiliser d'une manière remarquable les intégrales 

 déjà connues, pour avancer la solution du problème. 



Soient ?, ?', deux fonctions quelconques des variables 

 </, , </ 2 , .. g„, p^ p t , ... jo n , en sorte que l'on puisse en for- 

 mer la combinaison (?, ?'). Supposons d'ailleurs connues 

 m intégrales du système (1), savoir : 



et de ces m équations, tirons les valeurs de m quelconques 

 d'entre les variables p h en fonction des autres, des va- 

 riables ^,#2, .. q n , et des constantes arbitraires ^, «y, ...; 

 puis portons ces valeurs dans nos fonctions f et /, qui 

 renfermeront alors m variables p de moins qu'auparavant. 

 Nous désignerons par ™, £', les fonctions <? et -/ ainsi trans- 

 formées, et formant la fonction : 



df df' df df' ^ 



m .m ,»» ,mi 



= * \dqi dpi dfi dpiJ 



elle aura %n termes de moins que (f, y'). Cherchons la 

 relation entre (?, ? ) et (?» ?')• 



(*) Mémoire cité, p. 795. — Ce théorème est signalé comme renfermé 

 dans le travail de M. Bertrand (note VII de la Méc. anal, de Lagrange) , 

 mais il m'a été impossible de l'y découvrir, et c'est en en cherchant la dé- 

 monstration que je suis arrivé aux résultats qui précèdent. 



