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qni contiennent les colinus de Tangle (p dans le denomina- 

 teur, quoique les feries ne fe terminent nulle part. 



Apres avoir montre ces imperfeQions dans plufieurs 

 cxemples, M. Euler remonte a leur fource. 11 fait voir d'ou 

 proviennent ces ecarts de la verite , en montrant que les 

 feries mentionnees ne donnent pas rexpreffion complette du 

 finus & du cofmus de i'angle multiple m (J) ; mais qu'il faut 

 joindre a ^hacune une feconde ferie , & que les termes de 

 cette feconde ferie detruifent dans chaque cas determine les 

 termes fuperflus de la premiere. 



Pour montrer Texiftence de cette double ferie, M. Eu- 

 ler met cof. (f)-z8icoLn(p~s; de forte que d^P- — -^-^^—.^ 

 & ndCf) ~ — -A£_— 5 d'ou l'Gn tire cette equation diffe- 

 rentielle 



d sr (i — z%) — nnd%^(i — s s) , 

 qui differenciee , en fuppofant d% conftant, mene a cette 

 equation differentielle du fecond degre: 



^^^•(i — %%) — zdzds-\-nnsd%^:::^o^ 

 En mettant donc 



s = A%^ — B %^-' -I- C z^-^ — &c, 

 Tequation tantot rapportee fera transformee en une ferie dont 

 le premier terme eft (nn — X>)%^, qui devient zero, en 

 xnettant X~-^n. On a donc deux valeurs pour Texpofant 

 \ qui etant fubftituees, la valeur s — cof n Cp fera exprimee 

 par une double ferie, Tune provenant de la valeur Xi:-+-n> 

 Tautre de la valeur X =: — n, c'eft - a - dire 



. _ I + A z'^ — B z"-- H- C !5"-4 — D z^-^ -I- &c. l 

 ~ 1 -»- 21 z-'^— 25z-" -2^- Cz-'^ -* - ^z-'' -^ -^- &c. 5 * 



Hiftoire de ilgu y La 



