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$. i ?. On a remarque depuis longtems que les 

 equations differentielles du fecond degre dont Flntegrale a 

 la lorme que nous venonsr d'examiner, n'ont point d'Integrale 

 premiere, c'eft-a-dire qu'on ne peuC point affigner d^qua- 

 tions differentielles du premier degre,. desquelles elles re- 

 fultent. M. Monge, traitant une equation de cette efpece 

 dans les Memoires de 1'Academie des Scienees de Paris 

 pour 1787, a cru trouver cette Integrale premiere qu'il dit 

 avoir ete meconnue par les Geometres. Mais nous ne 

 croyons pas avec cet illuftre Mathematicien que cette In- 

 tegrale puiffe etre admife , nous indiquerons plus" bas les 

 raifons de notre opinion> & il nous fembje que ce Pa- 

 radoxe doit etre explique par d'aut"res principes. Pour 

 plus de clarte , nc-us traiterons d'abord Texemple de M. 

 Monge, * enfuite nous conMererons lachofe- d'une maniere 

 generale, 



§. 13. Sfoit Flntegrale 

 2 ~ F : (x -f:jr) +f i (x — j) — X [jN (x -y) -f: (x -/)],, 

 on a en differentrant 



CH> =*- * F// : C* ± y) - */-* : (*-y) r 



. (f|> = V,(x+y)-f':(x-y)-xV":(x-<-y),-+xf":(x-y) v 

 ( (m)=-F'':(x t - r )-/^(x- y )-xF-:;x+ r >-x/-:(x- r )i 

 (f§?) = F ''• (x+ y) +f -: (x -y) : - x V"': (i +r )-x/'":(x -y) ,-, 

 dbnc 



^dxt-J ^ayri ^\ d x-J — °*' 

 L'Integrale fuppofee fatisfait donc a cette equation differen- 

 tieile du fecond degre. M. Euler a trouve cette Integrale 



dans 



