HISTOIRE. 129 



cn meme tems des carres, on en aura autant de fo- 

 lutious differentes. Pour faciliter ces recherches ., 

 j'ai ajoute a la fin de ce traite une table des nom- 

 bres pronics depuis 2 jjusgti'a 504.00 & de leurs moi- 

 ties paires .-& impaires. 



II. Si A eft un norribre pair non divifible par 4, : & par 

 confequent de la forme sjiB+i), il ne peut etre 

 que la y fomme de deux carres impairs (car fi ce 

 nombre etoit la fomme de deux carres pairs, 2 (2 B -+- 1 ) 

 devroit etre divifible par 4, ce qui eft impoffible). 

 Soit donc pzraP+i-, & q ~~z 2 Q.-+- 1 , & nous au- 

 rons : B = P (P -+ 1 ) -+ Q (Q -+ 1 ) . II faut donc , 

 pbtir que ce cas foit poffible, que B, c'eft-a-dire 

 £—Zji foit non feulement un nombre entier, mais en* 

 core un nombre pair , puisque la fomme des deux 

 nombres pronics P(P+ 1) & Q(Q-+ 1) f eft toujours 

 neceffairement paire. Faifons donc B — 2 C & 

 P — Qh-.R (R etant un nombre encore indetermine) 

 & fubftituant pour P 2 & P les valeurs Q 2 -+-2RQ+R 2 , 

 & Q-f-R dans cette equation 5 elle fe changera en 

 2 C = 2 Q 2 -+ 2 (R -f- 1 ) Q-f- R 2 -+-R, de laquelle 

 on obtient Q=z - (R + ii±V(4C^i-^ )? & cette va , 



leur de Q fera toujours un nombre entier , fi rex" 

 preffion ]/ (^ C 2 -+ 1 — R 2 ) eft un nombre rationel 

 & entier. Soit donc 4 C 2 -+- 1 — R 2 =: S 2 , & nous 

 aurons 4 C 2 -+ 1 = R 2 -+ S 2 . Or 4 C 2 -f- 1 eft un 

 nombre impair; donc le nombre donne Ar2(2 B-+- 1) 

 pourra toujours etre decompofe en deux carres, pour- 

 vli que 4C 2 +i, ceft - a - dire ( ~2f -+- 1 puiffe 

 Hifioire de 1793. r le- 



