HISTOIRE. 137 



B — R 2 =z P (P + 1 ) H- Q(a+ 1 ) 

 * deviendra 



2[ D- 2 T(T+i)] = p(p+i) + a(a+i). 



Faifons D-aT(T+i) = a& P = Q.-*- V, & il 

 y aura 



(V-n) + y(4a-4-I- V») . 



_ _ _.. , 



donc /(4«+ 1 -V 2 ) doit etre un nombre rationnel 

 & entier S , & par confequent 4 a -h 1 = V 2 •+- S 2 . 

 Ainfi, pour refoudre ce cas, il fuffit de retrancher 

 fucceffivement de D, c'eft-a-dire de ^-~, le produit 



de tous les nombres pronics (moindres que g.) par 

 2, & de voir, fi parmi les reftes a il s'en trouve 

 un ou plufieurs qui foient tels que 4 a -+- 1 puiffe 

 etre decompofe en deux carres S^ & V 2 , & l'on au- 

 ra autant de folutions differentes tju'on aura trouve 

 de valeurs pour V & $, 



•III. 'Si A eft un nombre lmpair de la forme 2B+1J 

 on ne pourra faire que les deux fuppofitions fuivantes : 

 p-zziV, q ~ 2 Q, r~oR-\-i & p=2P + i; q =z 

 2- Q +- 1 , r = 2 R -+- 1, Commeneons par en examiner la 



premiere. Soit donc 



1.) A=2B-+i = p 2 -f-qf 2 H-r Sip-iV; 7 = 2Q, rraR+i; 

 ainfi il y aura f — R (R -+- 1 ) — P 2 -. Q 2 . II faut 

 donc, pour que ce cas foit poffible, que B, c'eft-a- 

 dire ^~, foit divifible par 2. Si ce quotient s'ap- 

 pelle C, on aura par confequent C — R (R -+ 1) = 

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