52 H I S T O I R E. 



a $ \ ' d y ' 



ce qui donne ?£ *_ — §_ ; Nous aurons donc en faifant 

 cette fubftitution 



tit (<£') - n"(!=)] 3y+ [» (VL-) - n" (f-f )] 3 x. 



On cherchera par les methodes connues les multiplicateurs 

 qui rendent cette quantite integrable. On trouvera ainfi 

 Uf & II". La queftion fe reduit do-nc a mettre le denomi- 

 nateur commun des quantites 1, i, £ fous la forme M -+- 

 |N, M & N etant des fon&ions de x & y, & § etant une 

 quantite connue. 



J. 23. Dans lequation du J. 20, il faut reduire le 

 denominateur 4X7+2X/ + X 2 — y 2 a cette forme : 



M -— x N M (1-4- x) — Nx 



I -f- X I-+- X -^ 



Je fais M:=A / xy-+-M / , N = B y x/-+- N x , A.l, B' etant 

 des conftantes arbitraires, M 7 , N' etant des fon&ions de x 

 & y. J'ai 



M(i+x)-Nx- 



A x-j+Axj + M^-f M*ar~ 4 x 2 ^ •+- 2 xy -+-X 2 — y 2 , 

 ~B -N 7 x 



donc A — B = 4, A'_ 2, B_-2, M' r= N"' _= x* — y\ 

 donc M _= 2 xy -+- x 2 — j 2 , N _= — 2 xy ■+■ x 2 — y 2 =_ 

 (a caufe de — — — _r _: ) 



N I -f- X tf 7 / 



(2 x/ -+• x' 2 — y 2 ) 3jk -+- (x 2 — • 2 x/ — - y~) d x _= o. 



On trouve pour integrales particulieres de cette equation 

 x — j_o, x 2 + j 2 _o, ce qui donne II 7 z_ x — / 

 II" z_ x 2 -h/ 2 , comme ci-defTus. Ulntegrale complette de 



cette 



