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en ait rendu la solution plus parfaite et qu'il ait generalise ses 

 recherches sur cetce matiere. 



La resolution de 1' equaticn exposee dans le titre de 

 ce memoire , ou m et n sont des nombres donnes, consiste : a 

 prendre a volonte un nombre q , a en deduire deux valeurs 



nqq ~ m 



- m . 



et [6 z= , ensuite une valeur z =z 



* nqq-m "" ^ — nqq-m' ™*"w »"^ vax^ui o — 4«+ p ( 4 a_ j)2 



et 5 =z — -— , d'ou l'on tire p zr g (i+z) et - __ 1 -+- 5 z r 

 desorte que a et c seront trouves en entiers. Enfin on aura 

 b~cp et „z=ag, et les quatre nombres a r b r c, d r ainsi trou- 

 ves seront tels que o& (m a a -\- n b b) =z cd (m c c -\-n d d). 



Moyennant cette solution , en prenant m z= 1 et n_i 

 et o=z3, on trouve quatre nombres a~ : 25, & =1:291, cz=ig3 

 et „ z= 75 , qui satisfont a 1'equation a & (a a -j- & fr) =z c d (cc 

 ■+-„„); et comme, en mettant a~p-\- q, b~p — q, c~r-\-s, 

 d—r — s, 1'equation devient p 4 -+- g + z= r + -+- s + on obtient quatre 

 nombres pz=i58, gz=i33, r=zi34, ^=:59 qui sont incompara- 

 blement plus petits que ceux que feu Mr. Euler avoit trouves 

 dans le XVII. Tome des nouveaux Commentaires. 



Ajoutons une propriete remarquable de 1'equation a b 

 (aa-\-bb) z_ cd(cc-hdd) r c'est qu'en faisant A=z(a-f-&) -+- 

 (c-*-„); B = (a + &)~(c + d); Cz_ (a— b) + (c — „); D = 

 (a-&)_ (c — d), il y aura AB (A A-+-BB) __CD (CC-f-DD). 



