20, __, 



simplicissima huic utrique formulae aequalis , ac pro priore po- 

 natur a-j-A zzimp et B 4- b zz m q , pro posteriore vero sit /3 

 (B — b) zz a /3 n p et a (a — A)zz u @nq , unde ergo fiet B — b 

 zz ccn p et a — A zz: /3 n q. Ex his quatuor aequalitatibus 



- _ . • » 7-r-. • m -p -\- $ n q 



denmantur numeri a, A et 6, B, qui erunt a zz: j 



Amp — finq . -p __ mq -+- «nf 7 mij — an* ^ 



=__ 2 •— , -d zr et 6__ -^—^- -> Cum nunc 



sitN = aaa -\- @b b , reperietur facta substitutione 

 N zz J « (mp -\- @nqf -\- i fi (mq — ccnpf 



sive per factores 



N — i«(mmpp+ $$nnqq)-\- i@ (mm qq -h ctcc nnpp), 



quae forma reducitur ad hoc productum: 

 | (m m -+- cc&nn) (ocpp -f- &qq). 



Unde patet formulam ocpp-\-@qq continere divisorem numeri N, 



simul vero etiam patet quotum hinc ortum esse formae mm-\-oc&nn. 



§. 14. Evidens autem est in hac demonstratione litteras 

 cc et /3 supponi positivas ; si enim altera esset negativa, evenire 

 posset, ut factor inventus ocpp -+-@qq abiret in unitatem, id quod 

 unico exemplo ostendisse sufficiet, quo est 7 zz 2 . 8* — - 1 . n 2 et 

 7 zz: 2 . 22 2 — 1 . 3i 2 » Hic ergo est N zz: 7, ideoque numerus pri- 

 mos ; tum vero oc zz: 2; /Szz 1; a zz 8; b~ n; Azz:22 et Bzz3i, 

 unde fit 



2=^7^+7-775 ita ut quatuor fractiones hinc ortae sint i°) - zz: |* 



_°)^=1; 3°),-=i; et V){—h ergo formulae 2pp — qq 

 valores erunt i°)< . 1, 2°) . 14, qui postremus, per 2 depressus, 

 dat 7; 3") . 7 . et 4 ) . 2 , qui postremus redigitur ad 1. Evi- 

 dens autem est litteras a et A; b et B pro lubitu tam positive 

 quam negative accipi posse. 



Theorema IV V 



Si duo numeri M et N ejusdem formae ctxx -t- /3yy m se 

 invicem multiplicentur , productum MN semper erit formae a & x x 

 -\- / y* idque duplici moda* 



